Обратные задачи определения граничных режимов для некоторых уравнений соболевского типа

В работе изучается разрешимость обратных задач нахождения вместе с решением некоторых уравнений соболевского типа также неизвестных коэффициентов специального вида, определяющих граничные режимы (граничные данные) в первой или соответственно третьей начально-краевых задачах. Наличие в подобных задачах неизвестного коэффициента предполагает, что наряду с краевыми и начальными условиями, характерными для соответствующего класса дифференциальных уравнений, задается также дополнительное условие - условие переопределения. В настоящей работе условие переопределения есть условие интегрального переопределения - условие равенства нулю некоторых интегралов по сечениям цилиндрической области плоскостями t=const. Цель работы - доказательство существования регулярных (имеющих все обобщенные по С.Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений. Наряду с конкретными результатами приведены некоторые возможные их обобщения.

Ключевые слова

уравнения соболевского типа; обратные задачи; неизвестные граничные данные; интегральное переопределение; регулярные решения; разрешимость.

Литература

1. Prilepko, A.I. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics / A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin. - N.Y.: Marcel Dekker, 1999.
2. Кабанихин, С.И. Обратные и некорректные задачи / С.И. Кабанихин. - Новосибирск: Сибирское кн. изд-во, 2009.
3. Алексеев, Г.В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнитной гидродинамики / Г.В. Алексеев. - М.: Науч. мир, 2010.
4. Костин, А.Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения / А.Б. Костин, А.И. Прилепко // Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т. 32, № 1. - С. 127-136; Т. 32, № 11. - С. 1319-1328.
5. Борухов, В.Т. Применение неклассических краевых задач для восстановления граничных режимов процессов переноса / В.Т. Борухов, В.И. Корзюк // Вестник Белорусского университета. Сер. I. - 1998. - № 3. - С. 54-57.
6. Борухов, В.Т. Сведение одного класса обратных задач теплопроводности к прямым начально-краевым задачам / П.Н. Борухов, П.Н. Вабищевич, В.И. Корзюк // Инженерно-физический журнал. - 2000. - Т. 73, № 4. - С. 742-747.
7. Короткий, А.И. Реконструкция граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции несжимаемой жидкости / А.И. Короткий, Д.А. Ковтунов // Тр. ИММ ДВО АН. - 2006. - Т. 12, № 2. - С. 88-97.
8. Kozhanov, A.I. The Problem of Recovery of the Boundary Condition for a Heat Equation / A.I. Kozhanov // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: материалы 6-й Междунар. конф., посвященной памяти проф. А.А. Килбаса. - Минск: изд-во БГУ, 2012. - С. 87-96.
9. Кожанов, А.И. Линейные обратные задачи для некоторых классов нестационарных уравнений / А.И. Кожанов // Труды VI Международной молодежной школы-конференции 'Теория и численные методы решений обратных и некорректных задач'. Сибирские электронные математические известия. - 2015. - Т. 12. - С. 264-275.
10. Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференциальные уравнения. - 1977. - Т. 13, № 2. - С. 294-304.
11. Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения на плоскости / Л.С. Пулькина // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2007. - С. 232-236.
12. Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов, Л.С. Пулькина // Математический журнал. - Алматы, 2009. - Т. 9, № 3. - С. 78-92.
13. Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач с нелокальными и интегральными условиями для параболических уравнений / А.И. Кожанов // Нелинейные граничные задачи. ИПММ НАН Украины. - 2010. - Т. 20. - С. 54-76.
14. Пулькина, Л.С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений / Л.С. Пулькина. - Самара: Изд-во Самарского гос. ун-та, 2012.
15. Кожанов, А.И. Задачи с условиями интегрального вида для некоторых классов нестационарных уравнений / А.И. Кожанов // Доклады Академии наук. - 2014. - Т. 467, № 2. - С. 152-156.
16. Кожанов, А.И. Разрешимость пространственно-нелокальных задач с условиями интегрального вида для некоторых классов нестационарных уравнений / А.И. Кожанов // Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т. 51, № 8. - С. 1048-1055.
17. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикладная математика и механика. - 1960. - Т. 24, № 5. - С. 852-864.
18. Demidenko, G.V. Partial Differential Equations and Systems not Solved with Respect to the Highest Order Derivative // G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - N.Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.